Las conversiones numéricas entre los sistemas binario, octal, decimal y hexadecimal son esenciales en informática y programación. A continuación, se presentan una serie de ejercicios avanzados con sus soluciones detalladas para mejorar la comprensión y habilidad en estas conversiones.
Ejercicios y Soluciones
Ejercicio 1: Convertir 110101110 (binario) a octal
Para convertir un número binario a octal, se agrupan los dígitos binarios en grupos de tres, comenzando desde la derecha, y se reemplaza cada grupo por su equivalente octal.
- Agrupar en tres: 110 101 110
- 110 (binario) = 6 (octal)
- 101 (binario) = 5 (octal)
- 110 (binario) = 6 (octal)
Juntando los resultados, 110101110 en binario es 656 en octal.
Ejercicio 2: Convertir 1C7F (hexadecimal) a binario
Para convertir un número hexadecimal a binario, se reemplaza cada dígito hexadecimal por su equivalente en cuatro dígitos binarios.
- 1 (hexadecimal) = 0001 (binario)
- C (hexadecimal) = 1100 (binario)
- 7 (hexadecimal) = 0111 (binario)
- F (hexadecimal) = 1111 (binario)
Juntando los resultados, 1C7F en hexadecimal es 0001110001111111 en binario.
Ejercicio 3: Convertir 731 (octal) a decimal
Para convertir un número octal a decimal, se multiplica cada dígito del número octal por la potencia de 8 correspondiente a su posición, comenzando desde 0.
- ( 7 \times 8^2 = 7 \times 64 = 448 )
- ( 3 \times 8^1 = 3 \times 8 = 24 )
- ( 1 \times 8^0 = 1 \times 1 = 1 )
Sumando los resultados: ( 448 + 24 + 1 = 473 ). Entonces, 731 en octal es 473 en decimal.
Ejercicio 4: Convertir 2A3F (hexadecimal) a decimal
Para convertir un número hexadecimal a decimal, se multiplica cada dígito del número hexadecimal por la potencia de 16 correspondiente a su posición, comenzando desde 0.
- ( 2 \times 16^3 = 2 \times 4096 = 8192 )
- ( A \times 16^2 = 10 \times 256 = 2560 ) (A es 10 en decimal)
- ( 3 \times 16^1 = 3 \times 16 = 48 )
- ( F \times 16^0 = 15 \times 1 = 15 )
Sumando los resultados: ( 8192 + 2560 + 48 + 15 = 10815 ). Entonces, 2A3F en hexadecimal es 10815 en decimal.
Ejercicio 5: Convertir 10815 (decimal) a hexadecimal
Para convertir un número decimal a hexadecimal, se divide el número decimal repetidamente entre 16 y se anotan los restos. Luego, se leen los restos en orden inverso, utilizando las letras A-F para los valores del 10 al 15.
- 10815 ÷ 16 = 675 con residuo 15 (F en hexadecimal)
- 675 ÷ 16 = 42 con residuo 3
- 42 ÷ 16 = 2 con residuo 10 (A en hexadecimal)
- 2 ÷ 16 = 0 con residuo 2
Leyendo los residuos de abajo hacia arriba, 10815 en decimal es 2A3F en hexadecimal.
Ejercicio 6: Convertir 1457 (octal) a hexadecimal
Para convertir un número octal a hexadecimal, primero se convierte el número octal a binario y luego el binario a hexadecimal.
- Convertir a binario:
- 1 (octal) = 001 (binario)
- 4 (octal) = 100 (binario)
- 5 (octal) = 101 (binario)
- 7 (octal) = 111 (binario) Juntando los resultados, 1457 en octal es 001100101111 en binario.
- Convertir a hexadecimal:
- Agrupar en cuatro: 0011 0010 1111
- 0011 (binario) = 3 (hexadecimal)
- 0010 (binario) = 2 (hexadecimal)
- 1111 (binario) = F (hexadecimal)
Juntando los resultados, 001100101111 en binario es 32F en hexadecimal. Entonces, 1457 en octal es 32F en hexadecimal.
Ejercicio 7: Convertir 100111101 (binario) a decimal
Para convertir un número binario a decimal, se multiplica cada dígito del número binario por la potencia de 2 correspondiente a su posición, comenzando desde 0.
- ( 1 \times 2^8 = 256 )
- ( 0 \times 2^7 = 0 )
- ( 0 \times 2^6 = 0 )
- ( 1 \times 2^5 = 32 )
- ( 1 \times 2^4 = 16 )
- ( 1 \times 2^3 = 8 )
- ( 1 \times 2^2 = 4 )
- ( 0 \times 2^1 = 0 )
- ( 1 \times 2^0 = 1 )
Sumando los resultados: ( 256 + 32 + 16 + 8 + 4 + 1 = 317 ). Entonces, 100111101 en binario es 317 en decimal.
Ejercicio 8: Convertir 1B7 (hexadecimal) a octal
Para convertir un número hexadecimal a octal, primero se convierte el número hexadecimal a binario y luego el binario a octal.
- Convertir a binario:
- 1 (hexadecimal) = 0001 (binario)
- B (hexadecimal) = 1011 (binario)
- 7 (hexadecimal) = 0111 (binario) Juntando los resultados, 1B7 en hexadecimal es 000110110111 en binario.
- Convertir a octal:
- Agrupar en tres: 000 110 110 111
- 000 (binario) = 0 (octal)
- 110 (binario) = 6 (octal)
- 110 (binario) = 6 (octal)
- 111 (binario) = 7 (octal)
Juntando los resultados, 000110110111 en binario es 0667 en octal. Entonces, 1B7 en hexadecimal es 667 en octal.
Ejercicio 9: Convertir 925 (decimal) a binario
Para convertir un número decimal a binario, se divide el número decimal repetidamente entre 2 y se anotan los restos. Luego, se leen los restos en orden inverso.
- 925 ÷ 2 = 462 con residuo 1
- 462 ÷ 2 = 231 con residuo 0
- 231 ÷ 2 = 115 con residuo 1
- 115 ÷ 2 = 57 con residuo 1
- 57 ÷ 2 = 28 con residuo 1
- 28 ÷ 2 = 14 con residuo 0
- 14 ÷ 2 = 7 con residuo 0
- 7 ÷ 2 = 3 con residuo 1
- 3 ÷ 2 = 1 con residuo 1
- 1 ÷ 2 = 0 con residuo 1
Leyendo los residuos de abajo hacia arriba, 925 en decimal es 1110011101 en binario.
Ejercicio 10: Convertir 7645 (octal) a hexadecimal
Para convertir un número octal a hexadecimal, primero se convierte el número octal a binario y luego el binario a hexadecimal.
- Convertir a binario:
- 7 (octal) = 111 (binario)
- 6 (octal) = 110 (binario)
- 4 (octal) = 100 (binario)
- 5 (octal) = 101 (binario) Juntando los resultados, 7645 en octal es 111110100101 en binario.
- Convertir a hexadecimal:
- Agrupar en cuatro: 1111 1010 0101
- 1111 (binario) = F (hexadecimal)
- 1010 (binario) = A (hexadecimal)
- 0101 (binario) = 5 (hexadecimal)
Juntando los resultados, 111110100101 en binario es FA5 en hexadecimal. Entonces, 7645 en octal es FA5 en hexadecimal.
Conclusión
Estos ejercicios avanzados y soluciones detalladas proporcionan una comprensión más profunda de las conversiones entre sistemas numéricos en informática. Practicar con más ejemplos ayudará a fortalecer estas habilidades y a aumentar la eficiencia en el manejo de datos numéricos en diferentes bases.
